Ábrázoló geometria tanítási szakmódszertana

Oktatási célok
A tantárgy célja felkészíteni a hallgatókat az ábrázoló geometria tantárgy oktatására. Az ábrázoló geometria a matematika egyik területe, általában téri viszonyok szemléletes ábrázolására használják. A gyakorlati funkcióján kívül azonban fontos eleme az európai műveltségnek is. Története és eredményei szorosan összefonódnak az építészet, képzőművészet történetével. Az ábrázoló geometria - hasonlóan a matematika egészéhez - több, mint módszerek összefüggő halmaza, egyben olyan szellemi komplexum, ami nagyon jellemző az emberi műveltségre. Az ábrázoló geometria az euklédeszi szerkesztésen alapul. A gyakorlatban a kézzel végzett szerkesztések szerepe egyre csökken, helyét a számítógépes rajzkészítés és szimuláció veszi át. Ábrázoló geometriai ismeretek nélkül azonban a szoftverek kezelése is lehetetlen, mert a felhasználói felületek rendszerint a klasszikus ábrázoló geometria fogalomrendszerét alkalmazzák. A csökkenő gyakorlati szereppel szemben a vizuális nevelésen belül betöltött szerepe változatlan. Az ábrázoló geometria segít a tudatos, letisztult térszemlélet kialakításában. A téri gondolkodás a vizuális kultúra egyik fontos alapeleme, ezért az ábrázoló geometria oktatásában is nagy hangsúlyt kell helyezni rá. Az oktatás elsődleges célja tehát egy egységes, tudatos térszemlélet kialakítása.
A hallgatókat a fentiek szellemében elsősorban a térszemlélet kialakítására kell felkészíteni. Ugyancsak szükség van arra, hogy az ábrázoló geometria kultúrtörténeti szerepével tisztában legyenek.
A tantárgy programja:

I. Általános tanári ismeretek
A tananyag meghatározásának és felosztásának a módszerei
A tanítás kiemelt szempontja az ismeretek elrendezése, egyrészt az adott diszciplína, tapasztalati kör összefüggéseinek megfelelően, másrészt erre építve, a tudás átadhatóságának a logikája szerint.
Ezért a módszertanban kiemelkedő a szerepe azoknak a gyakorlati technikáknak, amelyek az ismeretanyag ilyen elrendezésére vonatkoznak. A gyakorlatban ez a tanítási egységek összefüggő rendszerének a kialakítását jelenti. Lebontó elv szerint először azt a kérdést kell eldöntenünk, hogy mit tanítsunk. Ebben az intézményes normákat közvetítő tanterv a meghatározó, amely alapján a tanár elkészíti a saját tanmenetét. Az éves tanmenetben a közvetlenül egymásra épülő tanítási egységeket, a fő témacsoportokat határozza meg. Ezek alapján készülnek el az óravázlatok és ezek mellékletei, az előadásvázlatok, a szemléltető anyagok, irodalomjegyzékek. Az óravázlatban szerepelnie kell annak, hogy kiknek készül (évfolyam, korcsoport), annak, hogy mi az óra célja (nevelési célok), a téma és a feladat pontos meghatározásának, az értékelés szempontjainak és az óra beosztásának. A tanmenetben meg kell még határozni a nagyobb egységek összefoglalásának, az ismétléseknek és a tudás felmérésének a rendjét.
Az elemző szempontok koncepciózus bővítésének módszere A problémacentrikus tervezést segítő módszerek:
Az algoritmusok módszere a tervezésben (feladattervezés, projektek).
A folyamatos tervezés és tervaktualizálás módszere.
Az "energiabeosztás", a "fontossági hierarchia" módszere.
A különböző mértékű korlátozások közötti tervezés módszere
Az önképzés kiegészítő problémamegoldó módszerei:
A problémafeltárás önálló módszerei.
A gyakorlásnak, a hiányosságok tervszerű pótlásának módszerei.
Az egyensúly fenntartása a legkisebb ellenállás iránya és a problémagócok között.
. Az összehasonlító elemzések variábilis módszerei

Feladatrend
vázlat
A célfeladatok integrált rendszerére épülő vizuális nevelés sajátosságai.
Mik a célfeladatok? Milyen típusai vannak?
Hogyan integrálhatók nagyobb egységekbe? Az egymásraépülés főbb típusai.
A célzott feladatok integrálása a feladatrendbe:
A témafeldolgozás egységei:
Előkészítő feladat / A témakör bevezetése gyakorlati tevékenységgel. (Motiváló
feladat.)
Ismeretszerző egység. / Adatgyűjtés, történeti vizsgálatok, technikai felkészülés...
Elemző egység. / Viszonyvizsgálat az előkészítő feladat és a támogató információk
között.
Feldolgozó egység. / Az előző feladatok alapjára épülő komplex feladat
A célzott feladatok egymásraépülésének főbb típusai, modelljei:
Lineáris. /Az egymásraépülés algoritmusa folyamatosan halad az egyszerűtől a bonyolultabb felé. Koncentrikus. (ráközelítő és tágító). / Fraktál típusú algoritmus a rész és egész viszonyában. Spirális. A két előző modell kombinációja, a más-más szinten ismétlődés algoritmusa.
A feladatok integrált rendje felépítésének legfontosabb (és lehetséges) szempontjai:
A fokozatosság elve. / Az egyszerűtől a bonyolultabb felé tartó felépítés.
A tudásintegrálás elve. / A feladatrendbe illeszkedjenek a kulturális kontextus elemei.
A produktivitás elve. / A hangsúly a produktivitásra kerüljön a reproduktivitással szemben.
A preferencia elve. / A lényeges időarányos megfeleltetése.
A cselekvő tanulás elve. / Az ismeretanyag felvétele találkozzon az alkotói attitűddel.
Az ismétlés elve. / A spirális modell alkalmazása, a más szinten újra előkerülő problémákra.
A képességfejlesztés elve. / A bármely területen felhasználható képességek fejlesztése. (Kísérő elem.)
A szocializáció elve. / Az individuum elismerése mellett, a szocializáció a nevelés alapfeladata.
Az arányos terhelés elve. / A lazítás - keményítés váltakozása a feladatsorok összeállításában.
A növekvő terhelés elve. / A képességek fejlődésének figyelembevétele a terhelésben.
A betarthatóság elve. / Megvalósítható legyen a feladatsor; időben, térben, eszközrendszerében.
A tartalmi következetesség elve. / A feladat csoportosítás tartalmi logikájának felépítettsége.
A tartalmi lefedettség elve. / Ne maradjon ki lényeges momentum a témakör feldolgozásából.
A vizuális szempontok elve. / Bármely témakör (PL: fizikai; mozgás) feldolgozása vizuális
szempontból.
A korosztályi érdekeltség elve. / A korosztály érdeklődésének, életmódjának figyelembevétele (otthoni
feladat).
Az alternativitás elve. / A feladatsorok adjanak módot, teret a körülményekhez igazodó lehetőségekre.
A variábilitás elve. / Változtatható (reagáló) legyen bizonyos feladatrészek sorrendisége.
A feladatok tervezésének javasolt lépései:
A feldolgozandó probléma vázlatos megfogalmazása, a feladat céljainak tisztázása. A témakörre, szakra vonatkozó tanterv, éves munkaterv, tanmenet, szakirodalom tanulmányozása.
A feladatstruktúra, témakörnyezet felvázolása.
A tanulócsoport speciális adottságainak felvázolása.
A motiváló, verbalizáló elemek konstruálása.
Az ismeretszerző és munkafázisok sorrendjének összeállítása.
A szemléltetés tervezése.
Az időbeosztás összeállítása.
A kiértékelés körülményeinek tisztázása, szempontjainak felsorolása.
A korrektúra alkalmainak kijelölése, módjának megtervezése.
A feladatkiadásnál elhangzó szöveg, a kiemelt szempontok összeállítása.
A szükséges nyersanyagok, munkaeszközök listájának összeállítása.
A javasolt kiegészítő irodalom listájának összeállítása.
A javasolt otthoni kiegészítő, gyakorló feladat megtervezése.
A feladathoz tartozó óravázlat elkészítése.
A feladattervek formai elemei:
Időbeosztás táblázat.
Teremberendezés vázlat (szükség esetén).
Munkamenet lista.
A feladat kiadásának vázlata.
A feladat leírása, esetleges rajzos vázlatai.
A háttérirodalom listája, a történeti ismeretanyag vázlata.
Az otthoni kiegészítő feladat leírása.
A kiértékelés szempontjainak listája.
A szemléltető eszközök, munkaeszközök, nyersanyagok listái.
óravázlat(ok).
Az analógiák elve. / Más alkotók hasonló megoldásainak, más területek analógiáinak ismertetése.
A kiegyensúlyozott pozitív negatív bírálat elve. / Nem a kedvszegés a cél, hanem a fejlesztés.
A következetesség elve. / Kerülni kell az ellentmondó instrukciókat (korrektúra jegyzet).
Az önállósítás elve. / Ne tűrjük el a folyamatos instruálás igényét Az önálló programterveztetés technikája. / Az instruált programterveztetés erősen motiváló hatású.

Feladattervezés
Vázlat
A célzott feladatok tervezésének, típusfüggő és független alapelvei:
A feladat megfogalmazásának szempontjai, követelményei:
Az érthetőség szempontja. / Nem érthető feladat (etikailag)nem értékelhető.
A megoldásra vonatkozó minták kerülésének a szempontja. / A terhelésmentes reproduktivitás kerülése.
A kiértékelés szempontjainak fígyelembevétele. / Az értékelhetetlen megoldások kerülése.
Tematikus elhelyezés. / A tanárnak többet kell tudni a témakörnyezetről, mint amennyi szóba kerül.
A végrehajtásra vonatkozó sorrend tisztázása. / A műveleti logika elve.
A felhasználandó nyersanyagok kezelésére vonatkozó ismertetés. / Miből, mennyit, mire?
Az ide tartozó munkavédelmi ismeretek jelzése. / Hivatkozás a munkavédelmi oktatás anyagára.
A további, részletesebb ismeretszerzés lehetőségeinek ismertetése. / Könyvek, műhelyek...
Az otthoni gyakorlásra vonatkozó útmutató. / A feladat egyéni gyakorlat- variációi javaslatai
Az egyéni munkatervekre vonatkozójavaslatok. / összetettebb feladatnál szükséges a munkaterv.
Az időbeosztás realitásának szempontja. / A feladat saját megoldásából visszaszámolva.
Pontos paraméterek tervezése. / Térbeli, időbeli, mennyiségi, minőségi konkretizált de rugalmas
tervezés.
Szemléltető és segédeszközök. / A feladat megfogalmazásának kiegészítője a szemléltetés.
A helyszínalakítás igényei. / A feladat megoldásának helyszíne (Teremátrendezés, külső helyszín...).
A dokumentálás szempontjai / A munkafolyamatok dokumentálása több oldalról tanulságos.
A feladattal kapcsolatos ismeretek, problémák verbális megfogalmazási igénye. / Verbalizálás -
vizualizálás.
A feladatok tervezésénél figyelembe kell venni a személyiségfejlődés fázisait, tehát a magasabb
évfolyamokban az önálló tervezés és megvalósítás lehetőségét fokozatosan kell beépíteni a feladatokba.
A feladatok tervezésének javasolt lépései:
A feldolgozandó probléma vázlatos megfogalmazása, a feladat céljainak tisztázása.
A témakörre, szakra vonatkozó tanterv, éves munkaterv, tanmenet, szakirodalom tanulmányozása.
A feladatstruktúra, témakörnyezet felvázolása.
A tanulócsoport speciális adottságainak felvázolása.
A motiváló, verbalizáló elemek konstruálása.
Az ismeretszerző és munkafázisok sorrendjének összeállítása.
A szemléltetés tervezése.
Az időbeosztás összeállítása.
A kiértékelés körülményeinek tisztázása, szempontjainak felsorolása.
A korrektúra alkalmainak kijelölése, módjának megtervezése.
A feladatkiadásnál elhangzó szöveg, a kiemelt szempontok összeállítása.
A szükséges nyersanyagok, munkaeszközök listájának összeállítása.
A javasolt kiegészítő irodalom listájának összeállítása.
A javasolt otthoni kiegészítő, gyakorló feladat megtervezése.
A feladathoz tartozó óravázlat elkészítése.
A feladattervek formai elemei:
Időbeosztás táblázat.
Teremberendezés vázlat (szükség esetén).
Munkamenet lista.
A feladat kiadásának vázlata.
A feladat leírása, esetleges rajzos vázlatai.
A háttérirodalom listája, a történeti ismeretanyag vázlata.
Az otthoni kiegészítő feladat leírása.
A kiértékelés szempontjainak listája.

A szemléltető eszközök, munkaeszközök, nyersanyagok listái. óravázlat(ok).
Az adott feladat célja nem a tárgyiasult eredmény létrehozása (hanem képességfejlesztés és ismeretszerzés), de az alkotói igényesség fejlesztése is fontos szempont. Ezért a feladat során létrejövő tárgyakat megfelelő megbecsüléssel kell archiválni, dokumentálni.
Az elkészített altematív feladattervek archiválása szintén szükséges, mert valamilyen kombinációban többször használhatóak. A kialakult feladattár sok segítséget nyújthat a munkában.
Feladat: Az ismertetett célzott alapfeladatok tervvázlatainak közösen megbeszélt szerkesztése, a saját választott témakör feldolgozása a fenti szempontok alapján.
A tanmenet

A tanmenet segíti a tanárok éves munkáját, a tanórákra való felkészülést, a feldolgozandó témakörök áttekintését, a tanév időbeli tagolását. A tanmenet kvalitása kihat a tanítás minőségére, szervezettségére.

A teoretikus (szöveges) és a praktikus (képes) tanmenet felépítésének főbb szempontjai:
Az éves tanmenetek az érvényes tantervek alapján épülnek fel, tartalmuk, követelmény rendszerük, eszköz rendszerük ezen alapul. A tanmeneteket az aktuális tanév kezdetéig, évente kell elkészíteni, az éves iskolai munkarend időtáblázata alapján (összefüggő tanítási egységek, szünetek, óraszám...). A tanmenetnek nem csak tartalmilag, hanem formailag, kategóriáiban is tanácsos követni az érvényes tantervet (nevelési cél, tananyag, tevékenységek, eszközrendszer, követelményrendszer). A fakultatív tanmenetek összetételűkben, kategóriarendszerükben azonos felépítésűek, viszont tartalmukban és követelményrendszerükben eltérhetnek a tantervtől, mintegy kiegészítve, kibővítve azt.
A vizuális nevelés területén a tanmeneteknek két fontosabb fajtája van, melyek párhuzamosan
alkalmazhatók.
Bizonyos esetekben helyettesíthetik, vagy kiegészíthetik egymást.
Az ún. teoretikus tanmenetnek tartalmaznia kell:
- a tanévre vonatkozó nevelési célokat,
- a tanévre vonatkozó elméleti és gyakorlati tananyagot, elsajátítandó ismereteket,
- az egymásra és egymásba épülő témaköröket,
- a tevékenységek, tanulmányi módok leírását
- az integrált célfeladatokat, és az ezeket alátámasztó eseti otthoni kiegészítő feladatokat,
- a minimális és általános követelményrendszert,
- a feladatokhoz szükséges eszközrendszert (szemléltető eszközök, könyvek, nyersanyagok, kellékek...),
- a részletes, órára bontott időbeosztást (táblázat),
- a módszertani emlékeztetőket és a szükséges csoportos korrektúrák helyét
- az időszakos és témaköri kiértékelések időpontjait,
- a tananyagot kiegészítő kötelező és javasolt képi és szöveges ismeretanyagok felsorolását,
- az esetleges fakultációk kapcsolódó tanmenetét
- a kiértékelések rendjét, időpontját (nem minden feladat igényel kiértékelést),
- a tantermen kívüli nevelési tevékenység leírása, előkészítő lépéseinek időpontjait,
Melléklete tartalmazza az óravázlatokat és a megfelelő listákat (nyersanyag, eszközrendszer, irodalom...).

A praktikus (képes) tanmenet, kiegészítve az előzőeket, azokat a vizuális emlékeztető információkat tartalmazza (kis rajzocskák, vázlatok, címszavak, fotók...) melyek szöveges formában nem nyújtanának megfelelő támpontokat. Formailag (a könnyű áttekinthetőség figyelembevételével) lehet tabló, mappa, lveorelló, album, stb..
A tantervek készítésének sorrendi, módszertani javaslatai:
Az érvényes alaptanterv és a kiegészítő iskolai tanterv megismerése, feldolgozása, kijegyzetelése
A témakörök tagolása, részegységekre bontása, sorrendbe állítása.
Az integrált feladatrendszer elvi felépítése, a célfeladat típusok sorrendjének felvázolása.
A célfeladatok kidolgozása a tanult szempontrendszer alapján.
A feladatokhoz szükséges eszközrendszer, kiegészítő ismeretanyag összeállítása.
A kiértékelések és korrektúrák rendjének kidolgozása.
Az időrend táblázat összeállítása, kitöltése a szükséges információkkal.
A mellékletszerű listák és a teoretikus tanmenet megírása.
A praktikus (rajzos, címszavas, táblázatos) tanmenet elkészítése.
A tanmenetek felülvizsgálata (jóváhagyása) a tanév kezdetén az iskolavezetés feladata (összevetése a tantervvel és az iskola oktatási, módszertani elképzeléseivel) A tanítás tartalmi és időbeli lépéstartása a jóváhagyott tanmenettel, a tanév folyamán bármikor (egyszer kötelezően), ellenőrizhető amely a minisztériumi és regionális szakfelügyelet és az iskolavezetés feladata. Az aktualitásukat vesztett tanmeneteket meg kell őrizni a tanterv érvényességének idejére.
Feladat: A bemutatott elévült archív tanmenetek összehasonlítása a megfelelő tantervvel és a tanult etikai, szakmai szempontokkal. Kritikai és korrekciós javaslatok tétele (a tartalmi formai megfelelésre, struktúrára, feladatcsoportosításra, célfeladatokra, szemléltetésre, kiértékelésre...)
A tanterv
Az aktuális tanterv elemzésének a módszerei Tematikus elemzés
az ismeretkör összefüggései szerinti elemzés
(az ismeretek fontossági sorrendjének szempontjai szerinti elemzés)
a gyakorlati fontosság szempontjából
a korábbi tantervekkel és iskolai gyakorlattal összehasonlítva
Az ismeretek átadásának a rendje szerinti módszertani elemzés A képességek fejlesztési stratégiája szerinti elemzés a korosztályi sajátosságok figyelembevételével
A tanterv kiegészítése , a tanmenet vázlatának elkészítése A súlypont megváltoztatásának a módszereivel, (az előírt normatívák szerint várható eredményesség felmérése alapján)

II. Szakmai (speciális) ismeretek
1. Bevezetés
a. Az ábrázoló geometria gyökerei
- a görög geometria gyökerei és eredményei.
- középkori geometria (világi és egyházi tudomány - a gyakorlat és az elmélet)
- reneszánsz (tudomány és művészet)
b. Az ábrázoló geometria viszonya a matematika egészéhez
- matematika, geometria, analitíkus geometria, ábrázoló geometria
- az ábrázoló geometria az analitikus geometria adott cél érdekében történő felhasználása
- az ábrázoló geometria az euklédeszi-karteziánus tér elemei, és azok viszonyát ábrázolja
c. Az ábrázoló geometria oktatási céljai
- tudatos térszemlélet kialakítása
- gyakorlati szerkesztési és geometriai ismeretek átadása
- a geometria integrációja a vizuális kultúra egészébe
2. Az ábrázoló geometria rendszere
a. Az ábrázoló geometria elemei
- Axiómák
itc A matematika egymásra épülő tételek rendszere
A tételek bizonyított állítások
A tételek bizonyítása más bizonyított tételeken nyugszik
Ez a felépítés feltételezi nem bizonyított, de igaznak elfogadott tételek létét. Ezek az axiómák.
Az axiómák megválasztásán az egész rendszer felépítése múlik (euklédeszi, és nem-euklédeszi geometriák)
- Euklédeszi szerkesztés
* Az euklédeszi szerkesztés gyakorlati tükre az euklédeszi geometria
axiómáinak Léteznek közelítő (elméletben nem használható, de
gyakorlatban működő) szerkesztések
* Az ábrázoló geometria alapvetően az egyes térelemek közti egyértelmű viszonyt írja le. Bizonyos szerkesztések azonban "információveszteséggel" járnak, azaz a térelemek egyes tulajdonságai nem fejthetőek vissza teljes bizonyossággal. Ezek a szerkesztések többnyire a szemléletesebb ábrázolást szolgálják, és tapasztalati tényeken alapulnak. (Perspektívaszerkesztés)
- Bizonyítások
* A bizonyítások egymásra épülő rendszere
* A bizonyítás feltételei
* A bizonyítások módszerei
- Szerkesztések
* A szerkesztések gyakorlata (szerkesztések nagy méretben,
lépésenként, szerkesztések ellenőrzése)
* A szerkesztések és az elmélet kapcsolata
- Problémamegoldás
* Mi az ábrázoló geometriai probléma?
* A problémamegoldás elemei, matematikai módszerek (analitikus és
koordinátageometria)
* A matematikai élmény
b. Az ábrázoló geometria oktatásának általános szempontjai
- Az egyszerűbbtől a bonyolult felé
* Az ábrázoló geometria oktatásában célszerű a geometria felépítését
követni
* Az ábrázoló geometria egymásra épülő ismertekből áll. Ezért az
ismétlésnek nagyon nagy szerepe van.
* Bonyolult bizonyítások egyszerű alkalmazása, és egyszerű
módszerek összetett alkalmazása
* Az analitikus térlátás kialakítása
- Az elméleti és gyakorlati ismeretek aránya és elrendezése
* Mi az elmélet és mi a gyakorlat az ábrázoló geometriában?
* A matematikával való kapcsolat megteremtése
* A szerkesztés módszerei
* Problémamegoldás matematikai (analitikus) és tapasztalati
(empirikus) úton.
- A téri gondolkodás és a geometriai elmélet kapcsolata
* A vizualitás és a matematika kapcsolata
* A geometriai tér korlátai
* A geometria, mint modell
- A téri gondolkodás és az egyetemes vizualitás kapcsolata
* Geometriai tér a köznapi gyakorlatban (térkép, műszaki rajz,
magyarázó ábra)
* Az építészet és az ábrázoló geometria kapcsolata
* Ábrázoló geometria a képzőművészetben.
* Geometria a filozófiában (Pythagoras, Descartes, Newton, Penrose)
3. Az oktatás gyakorlata
a. . Szemléltetés
- Szemléltető eszközök használata
- Szemléltető eszközök készítése
- Szemléltetés a gyakorlatban
- Az új technológiák alkalmazása
- Az új technológiák előnyei és veszélyei
- Kreatív szemléltetés
b. Feladatrend
- Integrált célfeladatok rendszere
- A geometria specifikumai (az ismétlés fontossága)
- Motivációs szempontok
c. Kiértékelés
- egyes feladatok értékelése
- a szemlélet és a gyakorlati eredmények problémája
- a térszemlélet kialakulásának ellenőrzése
Kötelező irodalom:
Bartel Leendert van der Waerden
Egy tudomány ébredése : Egyiptomi, babiloni és görög matematika
Budapest: Gondolat, 1977.
Reiman István: Geometria és határterületei Gondolat, Budapest 1986.

Ajánlott irodalom:
S. L. Greitzer: Az újra felfedezett geometria / H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Budapest: Gondolat, 1977.
Roger Penrose: A császár új elméje Budapest Gondolat, 1998
Reuben Hersh: A matematika természete Budapest: Typotex, 2000
Szirmai-Kalos László: Számítógépes grafika Műszaki könyvkiadó, 1999
Sain Márton, Nincs királyi út, Budapest: Gondolat, 1986